(1-1热点)-数学怎么就越来越抽象了?

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数学从具体数字到函数变量,再到一些奇奇怪怪的符号,似乎越来越不容易理解了,原因在于它是一门多重抽象的学科。而19世纪中叶出现的群论,直接将它抽象到了一个新高度,并以此为核心发展出了近世代数,又称抽象代数。甚至让“代数”这个词,也由“研究方程”变成了“研究代数结构”。

群论的思想在欧拉、高斯、拉格朗日等大神的数学研究中已有体现,但“群”这个术语,最早由伽罗瓦在研究多项式方程可解性问题时提出(1832年),但这位悲情天才的理论不被人理解,直到他死后14年才被重新发表。然而群的抽象概念,直到22年后(1854年)才由凯莱(Arthur Cayley)在论文《关于符号方程θ^n=1的群论》中正式提出。

从左往右:欧拉、高斯、拉格朗日、伽罗瓦、凯莱

凯莱是一位神人,年轻时很擅长数学,结果从剑桥三一学院毕业后,转身当起了律师。更神奇的是他一边当律师,一边狂发数学论文(发表了约两百五十篇论文,一生总发表数与柯西相当,仅次于欧拉)。14年后,才正式告别律师生涯,回归学术圈,成为剑桥大学教授。

他不但是矩阵论的奠基人,还对群论的贡献很大,他的凯莱图和凯莱表能形象地解释群结构。

那究竟什么是一个群?加法、乘法、模运算、甚至是图形的变换、现实世界中开关的闭合等等,以群论的观点看来,都只是一种运算,统一称为群乘法(不一定是算术乘法),或者二元运算(合成法则)。

但要构成群,光有运算法则还不够,得要有一个集合,而集合与这个二元运算还要满足4条公理,才能构成一个群。1.封闭性从集合中任取两个元素,在群乘法的运算下结果仍然属于原集合。比如整数的加法或乘法,结果仍然是整数,就满足封闭性。

2.结合率运算必须满足结合律,但不一定满足交换律。

3.单位元集合必须包含单位元,任何元素与单位元进行运算(包含左乘与右乘),结果等于那个元素自身。比如整数乘法中的1,整数加法中的0。

4.逆元素每一个元素必须在原集合中存在逆元素(也称:逆元)。每一个元素与它的逆元素进行运算(包含左乘与右乘)结果等于单位元。比如整数加法中每一个数的相反数就是逆元。但是整数乘法的逆元则是它的倒数,却不一定在整数范围内,因此整数乘法无法构成群。

满足这四条公理的集合与二元运算就构成了一个群。

这样来看,全体整数在加法运算下就构成了一个群;全体有理数(除0外)在乘法运算下也构成了一个群。但这些都是无限群(包含无限多个元素),数学家更关注有限群(包含有限多个元素)。

有限群可以通过凯莱图和凯莱表来展示它们的内部结构。

左侧为凯莱图,右侧为凯莱表比如:这个三次对称群S3。可以对应于现实中一个等边三角形,通过哪些变换与原图形重叠。其中r表示顺时针旋转120°,f表示沿某条对称轴翻转一次。我们发现操作1次或多次都能与原图形重叠。如果将三角形的三个角标上数字,就清楚了这些变换本质上只有6种。关于变换文末的视频号内动态展示更形象。如果将一个群所在的集合包含的元素个数称之为“阶”。凯莱将15阶以下的有限抽象群类型个数,全给列了出来。

上述案例就是一个6阶抽象群,而6阶抽象群除了上面一种之外,还有1种就是循环群,除此之外再无其他模式。包含6个元素的抽象群,仅有这两种模式这就带来了一个启示:有限抽象群的结构很有限。数学家发现,很多自然界形态的变换都符合群的定义,上述案例与雪花的变换很类似。本质上因为它们都具有对称性,因此对称群就成了最重要的一类群。

凯莱继续深入研究并提出了凯莱定理:所有群G都与在G上的对称群SG的一个子群同构。这意味着所有群结构的奥秘,都蕴含在对称变换中。越抽象,越本质。以群论为核心发展起来的抽象代数,成为强大的数学武器,它与数论、分析、几何、拓扑等分支相结合,一路披荆斩棘,在费马大定理的证明、物理学守恒量的溯源、基本粒子与宇宙结构的探索等方面,发挥出巨大作用。它是当之无愧的“数学抽象的最高艺术”。

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